행렬(Matrix)의 정의, 행렬의 연산

행렬(Matrix)은 수학에서 숫자나 변수를 직사각형 배열로 나타낸 것을 의미합니다. 특히 선형대수학에서 중요한 역할을 하며, 경제수학에서도 수요와 공급, 생산 및 소비 등 다양한 경제 모델을 표현하고 분석하는 데 사용됩니다.

 

1. 행렬의 정의 

행렬은 행(row)과 열(column)로 이루어진 2차원 배열입니다. 예를 들어, 다음은 2행 3열의 행렬입니다.

*행(row)은 가로 방향, *열(column)은 세로 방향을 뜻합니다. a_ij​는 행렬 A의 i번째 행과 j번째 열에 위치한 요소입니다.

 

 

행렬의 크기를 나타낼 때는 행의 개수와 열의 개수로 표현합니다. 예를 들어, 위의 행렬은 2×3 크기를 가지며, 첫 번째 숫자(2)는 행의 수, 두 번째 숫자(3)는 열의 수를 의미합니다. 

 

* 서로 같은 행렬의 의미는 두 행렬이 완전히 동일한 형태와 값을 가질 때를 의미합니다. 

조건 1) 행과 열의 크기가 같아야 한다

조건 2) 각 대응되는 원소의 값이 같아야 한다

 

2. 행렬의 연산

1) 행렬의 덧셈과 뺄셈

행렬의 덧셈과 뺄셈은 같은 크기의 행렬들끼리만 가능하며, 대응되는 원소끼리 더하거나 빼는 방식으로 이루어집니다. 이 연산은 행과 열의 크기가 같은 행렬들에서만 수행할 수 있다는 점이 중요합니다.

 

두 행렬 A와 B가 같은 크기(예: m×n)의 아래와 같이 정의될 때,

두 행렬의 덧셈은 아래와 같이 각 원소를 더하는 방식이며, 행렬의 뺄셈은 덧셈과 마찬가지고 각 원소를 빼는 방식입니다. 

2) 행렬의 상수배

행렬의 상수배는 행렬의 모든 원소에 동일한 상수를 곱하는 연산입니다. 

행렬 A가 있고, 상수를 k라고 할 때, kA는 행렬 A의 각 원소에 상수 k를 곱한 결과입니다. 즉, A의 각 원소 a_ij에 대해 k⋅a_ij가 새로운 행렬의 원소가 됩니다.

3) 행렬의 곱셈

행렬의 곱셈은 두 행렬을 곱하는 연산으로, 경제수학과 선형대수학에서 매우 중요한 개념입니다.

행렬의 곱셈은 2) 행렬의 상수배와는 규칙이 조금 다릅니다. 두 행렬이 곱해지기 위해서는 반드시 앞 행렬의 열의 수와 뒤 행렬의 행의 수가 같아야 하며, 각 원소를 특정한 규칙에 따라 계산하게 됩니다.

 

• 행렬 A의 열의 수와 행렬 B의 행의 수가 같아야 합니다.
• 만약 A가 m×n 크기이고, B가 n×p 크기라면, 이 두 행렬을 곱할 수 있으며, 그 결과 행렬은 m×p 크기를 갖습니다.

 

계산방법은 행렬 A의 각 행의 원소들과 행렬 B의 각 열의 원소들을 대응시켜 곱한 후 더하는 것입니다. 예를 들어 설명하자면, A가 2×3 행렬이고 B가 3×2 행렬일 때

 

행렬 곱셈은 일반적인 스칼라 곱셈과 다른 몇 가지 특성을 가집니다.

 

• 교환법칙이 성립하지 않음: A×B≠B×A인 경우가 대부분입니다. 즉, 행렬 곱셈은 순서가 매우 중요합니다.
• 결합법칙: A(B×C)=(A×B)C는 성립합니다.
• 분배법칙: A(B+C)=AB+AC, (A+B)C=AC+BC가 성립합니다.